Приветствую, Елена! Так как современный азербайджанский алфавит основан на латинице, при переводе на английский азербайджанские имена (аналогично турецким) включаются в текст в оригинальном написании. Т.е. верно Ваше второе предположение — oğlu и qızı — это в том случае, если есть возможность набора специфических букв ğ и ı; в документах, не носящих строго официального характера, допустима замена этих букв на стандартные литеры g, i соответственно. Как вариант, буква ğ передаётся также по-английски буквосочетанием gh.

Имя известного певца и политика Полада Бюльбюль оглы пишется по-азербайджански Polad Bülbüloğlu, а по-английски — также Polad Bulbuloghlu.